启发式算法

遗传算法

遗传算法思想

  借鉴生物进化论,遗传算法将要解决的问题模拟成一个生物进化的过程,通过复制、交叉、突变等操作产生下一代的解,并逐步淘汰掉适应度函数值低的解,增加适应度函数值高的解。这样进化N代后就很有可能会进化出适应度函数值很高的个体。

  举个例子,使用遗传算法解决“0-1背包问题”的思路:0-1背包的解可以编码为一串0-1字符串(0:不取,1:取) ;首先,随机产生M个0-1字符串,然后评价这些0-1字符串作为0-1背包问题的解的优劣;然后,随机选择一些字符串通过交叉、突变等操作产生下一代的M个字符串,而且较优的解被选中的概率要比较高。这样经过G代的进化后就可能会产生出0-1背包问题的一个“近似最优解”。

编码:需要将问题的解编码成字符串的形式才能使用遗传算法。最简单的一种编码方式是二进制编码,即将问题的解编码成二进制位数组的形式。例如,问题的解是整数,那么可以将其编码成二进制位数组的形式。将0-1字符串作为0-1背包问题的解就属于二进制编码。

  遗传算法有3个最基本的操作:选择,交叉,变异。

选择:选择一些染色体来产生下一代。一种常用的选择策略是 “比例选择”,也就是个体被选中的概率与其适应度函数值成正比。假设群体的个体总数是M,那么那么一个体Xi被选中的概率为f(Xi)/( f(X1) + f(X2) + …….. + f(Xn) )。比例选择实现算法就是所谓的“轮盘赌算法”( Roulette Wheel Selection ) ,轮盘赌算法的一个简单的实现如下:

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轮盘赌算法
/*
* 按设定的概率,随机选中一个个体
* P[i]表示第i个个体被选中的概率
*/
int RWS()
{
m =0;
r =Random(0,1); //r为0至1的随机数
for(i=1;i<=N; i++)
{
/* 产生的随机数在m~m+P[i]间则认为选中了i
* 因此i被选中的概率是P[i]
*/
m = m + P[i];
if(r<=m)
return i;
}
}

交叉(Crossover):2条染色体交换部分基因,来构造下一代的2条新的染色体。例如:

交叉前:

00000|==011100000000==|10000
11100|000001111110|00101

交叉后:

00000|000001111110|10000
11100|==011100000000==|00101

染色体交叉是以一定的概率发生的,这个概率记为Pc 。

变异(Mutation):在繁殖过程,新产生的染色体中的基因会以一定的概率出错,称为变异。变异发生的概率记为Pm 。例如:

变异前:
000001110000==0==00010000

变异后:
000001110000==1==00010000

适应度函数 ( Fitness Function ):用于评价某个染色体的适应度,用f(x)表示。有时需要区分染色体的适应度函数与问题的目标函数。例如:0-1背包问题的目标函数是所取得物品价值,但将物品价值作为染色体的适应度函数可能并不一定适合。适应度函数与目标函数是正相关的,可对目标函数作一些变形来得到适应度函数。

基本遗传算法的伪代码

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基本遗传算法伪代码
/*
* Pc:交叉发生的概率
* Pm:变异发生的概率
* M:种群规模
* G:终止进化的代数
* Tf:进化产生的任何一个个体的适应度函数超过Tf,则可以终止进化过程
*/
初始化Pm,Pc,M,G,Tf等参数。随机产生第一代种群Pop
do
{
  计算种群Pop中每一个体的适应度F(i)。
  初始化空种群newPop
  do
  {
    根据适应度以比例选择算法从种群Pop中选出2个个体
    if ( random ( 0 , 1 ) < Pc )
    {
      对2个个体按交叉概率Pc执行交叉操作
    }
    if ( random ( 0 , 1 ) < Pm )
    {
      对2个个体按变异概率Pm执行变异操作
    }
2个新个体加入种群newPop中
} until ( M个子代被创建 )
用newPop取代Pop
}until ( 任何染色体得分超过Tf, 或繁殖代数超过G )

基本遗传算法优化

下面的方法可优化遗传算法的性能。

精英主义(Elitist Strategy)选择:是基本遗传算法的一种优化。为了防止进化过程中产生的最优解被交叉和变异所破坏,可以将每一代中的最优解原封不动的复制到下一代中。

插入操作:可在3个基本操作的基础上增加一个插入操作。插入操作将染色体中的某个随机的片段移位到另一个随机的位置。

爬山算法 ( Hill Climbing )

介绍模拟退火前,先介绍爬山算法。爬山算法是一种简单的贪心搜索算法,该算法每次从当前解的临近解空间中选择一个最优解作为当前解,直到达到一个局部最优解。

爬山算法实现很简单,其主要缺点是会陷入局部最优解,而不一定能搜索到全局最优解。如图1所示:假设C点为当前解,爬山算法搜索到A点这个局部最优解就会停止搜索,因为在A点无论向那个方向小幅度移动都不能得到更优的解。

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模拟退火(SA,Simulated Annealing)

爬山法是完完全全的贪心法,每次都鼠目寸光的选择一个当前最优解,因此只能搜索到局部的最优值。模拟退火其实也是一种贪心算法,但是它的搜索过程引入了随机因素。模拟退火算法以一定的概率来接受一个比当前解要差的解,因此有可能会跳出这个局部的最优解,达到全局的最优解。以图1为例,模拟退火算法在搜索到局部最优解A后,会以一定的概率接受到E的移动。也许经过几次这样的不是局部最优的移动后会到达D点,于是就跳出了局部最大值A。

模拟退火算法描述:

J( Y(i+1) )>= J( Y(i) ) (即移动后得到更优解),则总是接受该移动

J( Y(i+1) )< J( Y(i) ) (即移动后的解比当前解要差),则以一定的概率接受移动,而且这个概率随着时间推移逐渐降低(逐渐降低才能趋向稳定)

这里的“一定的概率”的计算参考了金属冶炼的退火过程,这也是模拟退火算法名称的由来。

根据热力学的原理,在温度为T时,出现能量差为dE的降温的概率为P(dE),表示为:P(dE) = exp( dE/(kT) )

其中k是一个常数,exp表示自然指数,且dE<0。这条公式说白了就是:温度越高,出现一次能量差为dE的降温的概率就越大;温度越低,则出现降温的概率就越小。又由于dE总是小于0(否则就不叫退火了),因此dE/kT < 0 ,所以P(dE)的函数取值范围是(0,1) 。

随着温度T的降低,P(dE)会逐渐降低。

我们将一次向较差解的移动看做一次温度跳变过程,我们以概率P(dE)来接受这样的移动。

关于爬山算法与模拟退火,有一个有趣的比喻:

爬山算法:兔子朝着比现在高的地方跳去。它找到了不远处的最高山峰。但是这座山不一定是珠穆朗玛峰。这就是爬山算法,它不能保证局部最优值就是全局最优值。

模拟退火:兔子喝醉了。它随机地跳了很长时间。这期间,它可能走向高处,也可能踏入平地。但是,它渐渐清醒了并朝最高方向跳去。这就是模拟退火。

下面给出模拟退火的伪代码表示。

模拟退火算法伪代码

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代码

/*
* J(y):在状态y时的评价函数值
* Y(i):表示当前状态
* Y(i+1):表示新的状态
* r: 用于控制降温的快慢
* T: 系统的温度,系统初始应该要处于一个高温的状态
* T_min :温度的下限,若温度T达到T_min,则停止搜索
*/
while( T > T_min )
{
  dE = J( Y(i+1) ) - J( Y(i) ) ;

  if ( dE >=0 ) //表达移动后得到更优解,则总是接受移动
Y(i+1) = Y(i) ; //接受从Y(i)到Y(i+1)的移动
  else
  {
// 函数exp( dE/T )的取值范围是(0,1) ,dE/T越大,则exp( dE/T )也
if ( exp( dE/T ) > random( 0 , 1 ) )
Y(i+1) = Y(i) ; //接受从Y(i)到Y(i+1)的移动
  }
  T = r * T ; //降温退火 ,0<r<1 。r越大,降温越慢;r越小,降温越快
  /*
  * 若r过大,则搜索到全局最优解的可能会较高,但搜索的过程也就较长。若r过小,则搜索的过程会很快,但最终可能会达到一个局部最优值
  */
  i ++ ;
}

使用模拟退火算法解决旅行商问题

  旅行商问题 ( TSP , Traveling Salesman Problem ) :有N个城市,要求从其中某个问题出发,唯一遍历所有城市,再回到出发的城市,求最短的路线。

  旅行商问题属于所谓的NP完全问题,精确的解决TSP只能通过穷举所有的路径组合,其时间复杂度是O(N!) 。

  使用模拟退火算法可以比较快的求出TSP的一条近似最优路径。(使用遗传算法也是可以的,我将在下一篇文章中介绍)模拟退火解决TSP的思路:

  1. 产生一条新的遍历路径P(i+1),计算路径P(i+1)的长度L( P(i+1) )

  2. 若L(P(i+1)) < L(P(i)),则接受P(i+1)为新的路径,否则以模拟退火的那个概率接受P(i+1) ,然后降温

  3. 重复步骤1,2直到满足退出条件

产生新的遍历路径的方法有很多,下面列举其中3种:

  1. 随机选择2个节点,交换路径中的这2个节点的顺序。

  2. 随机选择2个节点,将路径中这2个节点间的节点顺序逆转。

  3. 随机选择3个节点m,n,k,然后将节点m与n间的节点移位到节点k后面。

算法评价

模拟退火算法是一种随机算法,并不一定能找到全局的最优解,可以比较快的找到问题的近似最优解。 如果参数设置得当,模拟退火算法搜索效率比穷举法要高。

原文