彻底理解KMP

转自从头到尾彻底理解KMP(2014年8月22日版)

暴力匹配算法

假设现在我们面临这样一个问题:有一个文本串S,和一个模式串P,现在要查找P在S中的位置,怎么查找呢?

如果用暴力匹配的思路,并假设现在文本串S匹配到 i 位置,模式串P匹配到 j 位置,则有:

如果当前字符匹配成功(即S[i] == P[j]),则i++,j++,继续匹配下一个字符;
如果失配(即S[i]! = P[j]),令i = i - (j - 1),j = 0。相当于每次匹配失败时,i 回溯,j 被置为0。
理清楚了暴力匹配算法的流程及内在的逻辑,咱们可以写出暴力匹配的代码,如下:

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int ViolentMatch(char* s, char* p)
{
int sLen = strlen(s);
int pLen = strlen(p);

int i = 0;
int j = 0;
while (i < sLen && j < pLen)
{
if (s[i] == p[j])
{
//①如果当前字符匹配成功(即S[i] == P[j]),则i++,j++
i++;
j++;
}
else
{
//②如果失配(即S[i]! = P[j]),令i = i - (j - 1),j = 0
i = i - j + 1;
j = 0;
}
}
//匹配成功,返回模式串p在文本串s中的位置,否则返回-1
if (j == pLen)
return i - j;
else
return -1;
}

KMP算法

定义

Knuth-Morris-Pratt 字符串查找算法,简称为 “KMP算法”,常用于在一个文本串S内查找一个模式串P 的出现位置,这个算法由Donald Knuth、Vaughan Pratt、James H. Morris三人于1977年联合发表,故取这3人的姓氏命名此算法。

下面先直接给出KMP的算法流程:

假设现在文本串S匹配到 i 位置,模式串P匹配到 j 位置

  • 如果j = -1,或者当前字符匹配成功(即S[i] == P[j]),都令i++,j++,继续匹配下一个字符;
  • 如果j != -1,且当前字符匹配失败(即S[i] != P[j]),则令 i 不变,j = next[j]。此举意味着失配时,模式串P相对于文本串S向右移动了j - next [j] 位。
    换言之,当匹配失败时,模式串向右移动的位数为:失配字符所在位置 - 失配字符对应的next 值(next 数组的求解会在下文详细阐述),即移动的实际位数为:j - next[j],且此值大于等于1。

很快,你也会意识到next 数组各值的含义:代表当前字符之前的字符串中,有多大长度的相同前缀后缀。例如如果next [j] = k,代表j 之前的字符串中有最大长度为k 的相同前缀后缀。

此也意味着在某个字符失配时,该字符对应的next 值会告诉你下一步匹配中,模式串应该跳到哪个位置(跳到next [j] 的位置)。如果next [j] 等于0或-1,则跳到模式串的开头字符,若next [j] = kk > 0,代表下次匹配跳到j 之前的某个字符,而不是跳到开头,且具体跳过了k 个字符。

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int KmpSearch(char* s, char* p)
{
int i = 0;
int j = 0;
int sLen = strlen(s);
int pLen = strlen(p);
while (i < sLen && j < pLen)
{
//①如果j = -1,或者当前字符匹配成功(即S[i] == P[j]),都令i++,j++
if (j == -1 || s[i] == p[j])
{
i++;
j++;
}
else
{
//②如果j != -1,且当前字符匹配失败(即S[i] != P[j]),则令 i 不变,j = next[j]
//next[j]即为j所对应的next值
j = next[j];
}
}
if (j == pLen)
return i - j;
else
return -1;
}

当S[10]跟P[6]匹配失败时,KMP不是跟暴力匹配那样简单的把模式串右移一位,而是执行第②条指令:“如果j != -1,且当前字符匹配失败(即S[i] != P[j]),则令 i 不变,j = next[j]”,即j 从6变到2(后面我们将求得P[6],即字符D对应的next 值为2),所以相当于模式串向右移动的位数为j - next[j](j - next[j] = 6-2 = 4)

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向右移动4位后,S[10]跟P[2]继续匹配。为什么要向右移动4位呢,因为移动4位后,模式串中又有个“AB”可以继续跟S[8]S[9]对应着,从而不用让i 回溯。相当于在除去字符D的模式串子串中寻找相同的前缀和后缀,然后根据前缀后缀求出next 数组,最后基于next 数组进行匹配。

步骤

  1. 寻找前缀后缀最长公共元素长度
    对于P = p0 p1 ...pj-1 pj,寻找模式串P中长度最大且相等的前缀和后缀。如果存在p0 p1 ...pk-1 pk = pj- k pj-k+1...pj-1 pj,那么在包含pj的模式串中有最大长度为k+1的相同前缀后缀。举个例子,如果给定的模式串为“abab”,那么它的各个子串的前缀后缀的公共元素的最大长度如下表格所示:

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比如对于字符串aba来说,它有长度为1的相同前缀后缀a;而对于字符串abab来说,它有长度为2的相同前缀后缀ab(相同前缀后缀的长度为k + 1,k + 1 = 2)。

  1. 求next数组
    next 数组考虑的是除当前字符外的最长相同前缀后缀,所以通过第①步骤求得各个前缀后缀的公共元素的最大长度后,只要稍作变形即可:将第①步骤中求得的值整体右移一位,然后初值赋为-1,如下表格所示:

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比如对于aba来说,第3个字符a之前的字符串ab中有长度为0的相同前缀后缀,所以第3个字符a对应的next值为0;而对于abab来说,第4个字符b之前的字符串aba中有长度为1的相同前缀后缀a,所以第4个字符b对应的next值为1(相同前缀后缀的长度为k,k = 1)。

  1. 根据next数组进行匹配
    匹配失配,j = next [j],模式串向右移动的位数为:j - next[j]。换言之,当模式串的后缀pj-k pj-k+1, ..., pj-1 跟文本串si-k si-k+1, ..., si-1匹配成功,但pj 跟si匹配失败时,因为next[j] = k,相当于在不包含pj的模式串中有最大长度为k 的相同前缀后缀,即p0 p1 ...pk-1 = pj-k pj-k+1...pj-1,故令j = next[j],从而让模式串右移j - next[j] 位,使得模式串的前缀p0 p1, ..., pk-1对应着文本串 si-k si-k+1, ..., si-1,而后让pk 跟si 继续匹配。如下图所示:

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综上,KMP的next 数组相当于告诉我们:当模式串中的某个字符跟文本串中的某个字符匹配失配时,模式串下一步应该跳到哪个位置。如模式串中在j 处的字符跟文本串在i 处的字符匹配失配时,下一步用next [j] 处的字符继续跟文本串i 处的字符匹配,相当于模式串向右移动j - next[j] 位。

接下来,分别具体解释上述3个步骤。

解释

寻找最长前缀后缀

如果给定的模式串是:ABCDABD,从左至右遍历整个模式串,其各个子串的前缀后缀分别如下表格所示:

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原模式串子串对应的各个前缀后缀的公共元素的最大长度表为(简称《最大长度表》):

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基于《最大长度表》匹配

因为模式串中首尾可能会有重复的字符,故可得出下述结论:

失配时,模式串向右移动的位数为:已匹配字符数 - 失配字符的上一位字符所对应的最大长度值

下面,咱们就结合之前的《最大长度表》和上述结论,进行字符串的匹配。如果给定文本串BBC ABCDAB ABCDABCDABDE,和模式串ABCDABD,现在要拿模式串去跟文本串匹配,如下图所示:

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  1. 因为模式串中的字符A跟文本串中的字符B、B、C、空格一开始就不匹配,所以不必考虑结论,直接将模式串不断的右移一位即可,直到模式串中的字符A跟文本串的第5个字符A匹配成功:

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  1. 继续往后匹配,当模式串最后一个字符D跟文本串匹配时失配,显而易见,模式串需要向右移动。但向右移动多少位呢?因为此时已经匹配的字符数为6个(ABCDAB),然后根据《最大长度表》可得失配字符D的上一位字符B对应的长度值为2,所以根据之前的结论,可知需要向右移动6 - 2 = 4 位。

  2. 模式串向右移动4位后,发现C处再度失配,因为此时已经匹配了2个字符(AB),且上一位字符B对应的最大长度值为0,所以向右移动:2 - 0 =2 位。

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  1. A与空格失配,向右移动1 位。
  2. 继续比较,发现D与C 失配,故向右移动的位数为:已匹配的字符数6减去上一位字符B对应的最大长度2,即向右移动6 - 2 = 4 位。

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  1. 经历第5步后,发现匹配成功,过程结束。

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通过上述匹配过程可以看出,问题的关键就是寻找模式串中最大长度的相同前缀和后缀,找到了模式串中每个字符之前的前缀和后缀公共部分的最大长度后,便可基于此匹配。而这个最大长度便正是next 数组要表达的含义。

根据《最大长度表》求next 数组

由上文,我们已经知道,字符串“ABCDABD”各个前缀后缀的最大公共元素长度分别为:

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而且,根据这个表可以得出下述结论

失配时,模式串向右移动的位数为:已匹配字符数 - 失配字符的上一位字符所对应的最大长度值

上文利用这个表和结论进行匹配时,我们发现,当匹配到一个字符失配时,其实没必要考虑当前失配的字符,更何况我们每次失配时,都是看的失配字符的上一位字符对应的最大长度值。如此,便引出了next 数组。

给定字符串“ABCDABD”,可求得它的next 数组如下:

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把next 数组跟之前求得的最大长度表对比后,不难发现,next 数组相当于“最大长度值” 整体向右移动一位,然后初始值赋为-1。意识到了这一点,你会惊呼原来next 数组的求解竟然如此简单:就是找最大对称长度的前缀后缀,然后整体右移一位,初值赋为-1(当然,你也可以直接计算某个字符对应的next值,就是看这个字符之前的字符串中有多大长度的相同前缀后缀)。

换言之,对于给定的模式串:ABCDABD,它的最大长度表及next 数组分别如下:

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根据最大长度表求出了next 数组后,从而有

失配时,模式串向右移动的位数为:失配字符所在位置 - 失配字符对应的next 值

而后,你会发现,无论是基于《最大长度表》的匹配,还是基于next 数组的匹配,两者得出来的向右移动的位数是一样的。为什么呢?因为:

  • 根据《最大长度表》,失配时,模式串向右移动的位数 = 已经匹配的字符数 - 失配字符的上一位字符的最大长度值
  • 而根据《next 数组》,失配时,模式串向右移动的位数 = 失配字符的位置 - 失配字符对应的next 值
    • 其中,从0开始计数时,失配字符的位置 = 已经匹配的字符数(失配字符不计数),而失配字符对应的next 值 = 失配字符的上一位字符的最大长度值,两相比较,结果必然完全一致。

所以,你可以把《最大长度表》看做是next 数组的雏形,甚至就把它当做next 数组也是可以的,区别不过是怎么用的问题。

通过代码递推计算next 数组

接下来,咱们来写代码求下next 数组。基于之前的理解,可知计算next 数组的方法可以采用递推:

  1. 如果对于值k,已有p0 p1, ..., pk-1 = pj-k pj-k+1, ..., pj-1,相当于next[j] = k
    此意味着什么呢?究其本质,next[j] = k 代表p[j] 之前的模式串子串中,有长度为k 的相同前缀和后缀。有了这个next 数组,在KMP匹配中,当模式串中j 处的字符失配时,下一步用next[j]处的字符继续跟文本串匹配,相当于模式串向右移动j - next[j] 位。

举个例子,如下图,根据模式串“ABCDABD”的next 数组可知失配位置的字符D对应的next 值为2,代表字符D前有长度为2的相同前缀和后缀(这个相同的前缀后缀即为“AB”),失配后,模式串需要向右移动j - next [j] = 6 - 2 =4位。

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向右移动4位后,模式串中的字符C继续跟文本串匹配。

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  1. 下面的问题是:已知next [0, …, j],如何求出next [j + 1]呢?
    对于P的前j+1个序列字符:
  • 若p[k] == p[j],则next[j + 1 ] = next [j] + 1 = k + 1
  • p[k ] ≠ p[j],如果此时p[ next[k] ] == p[j ],则next[ j + 1 ] = next[k] + 1,否则继续递归前缀索引k = next[k],而后重复此过程。 相当于在字符p[j+1]之前不存在长度为k+1的前缀”p0 p1, …, pk-1 pk“跟后缀“pj-k pj-k+1, …, pj-1 pj“相等,那么是否可能存在另一个值t+1 < k+1,使得长度更小的前缀 p0 p1, …, pt-1 pt 等于长度更小的后缀 “pj-t pj-t+1, …, pj-1 pj” 呢?如果存在,那么这个t+1 便是next[ j+1]的值,此相当于利用已经求得的next 数组(next [0, ..., k, ..., j])进行P串前缀跟P串后缀的匹配。
    一般的文章或教材可能就此一笔带过,但大部分的初学者可能还是不能很好的理解上述求解next 数组的原理,故接下来,我再来着重说明下。

如下图所示,假定给定模式串ABCDABCE,且已知next [j] = k(相当于“p0 pk-1” = “pj-k pj-1” = AB,可以看出k为2),现要求next [j + 1]等于多少?因为pk = pj = C,所以next[j + 1] = next[j] + 1 = k + 1(可以看出next[j + 1] = 3)。代表字符E前的模式串中,有长度k+1 的相同前缀后缀。

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但如果pk != pj 呢?说明p0 pk-1 pk ≠ pj-k pj-1 pj。换言之,当pk != pj后,字符E前有多大长度的相同前缀后缀呢?很明显,因为C不同于D,所以ABC 跟 ABD不相同,即字符E前的模式串没有长度为k+1的相同前缀后缀,也就不能再简单的令:next[j + 1] = next[j] + 1 。所以,咱们只能去寻找长度更短一点的相同前缀后缀。

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结合上图来讲,若能在前缀p0 pk-1 pk 中不断的递归前缀索引k = next [k],找到一个字符pk’ 也为D,代表pk’ = pj,且满足p0 pk'-1 pk' = pj-k' pj-1 pj,则最大相同的前缀后缀长度为k' + 1,从而next [j + 1] = k’ + 1 = next [k' ] + 1。否则前缀中没有D,则代表没有相同的前缀后缀,next [j + 1] = 0

那为何递归前缀索引k = next[k],就能找到长度更短的相同前缀后缀呢?这又归根到next数组的含义。我们拿前缀 p0 pk-1 pk 去跟后缀pj-k pj-1 pj匹配,如果pk 跟pj 失配,下一步就是用p[next[k]] 去跟pj 继续匹配,如果p[ next[k] ]跟pj还是不匹配,则需要寻找长度更短的相同前缀后缀,即下一步用p[ next[ next[k] ] ]去跟pj匹配。此过程相当于模式串的自我匹配,所以不断的递归k = next[k],直到要么找到长度更短的相同前缀后缀,要么没有长度更短的相同前缀后缀。如下图所示:

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引用下一读者wudehua55555于本文评论下留言,以辅助大家从另一个角度理解:“ 一直以为博主在用递归求next数组时没讲清楚,为何要用k = next[k],仔细看了这个红黄蓝分区图才突然恍然大悟,就是找到p[k]对应的next[k],根据对称性,只需再判断p[next[k]]与p[j]是否相等即可,于是令k = next[k],这里恰好就使用了递归的思路。其实我觉得不要一开始就陷入递归的方法中,换一种思路,直接从考虑对称性入手,可直接得出k = next[k],而这正好是递归罢了。以上是一些个人看法,非常感谢博主提供的解析,非计算机的学生也能看懂,虽然从昨晚9点看到了现在。高兴。”

所以,因最终在前缀ABC中没有找到D,故E的next 值为0:

模式串的后缀:ABDE
模式串的前缀:ABC
前缀右移两位:ABC
读到此,有的读者可能又有疑问了,那能否举一个能在前缀中找到字符D的例子呢?OK,咱们便来看一个能在前缀中找到字符D的例子,如下图所示:

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给定模式串DABCDABDE,我们很顺利的求得字符D之前的“DABCDAB”的各个子串的最长相同前缀后缀的长度分别为0 0 0 0 1 2 3,但当遍历到字符D,要求包括D在内的“DABCDABD”最长相同前缀后缀时,我们发现pj处的字符D跟pk处的字符C不一样,换言之,前缀DABC的最后一个字符C 跟后缀DABD的最后一个字符D不相同,所以不存在长度为4的相同前缀后缀。

怎么办呢?既然没有长度为4的相同前缀后缀,咱们可以寻找长度短点的相同前缀后缀,最终,因在p0处发现也有个字符D,p0 = pj,所以p[j]对应的长度值为1,相当于E对应的next 值为1(即字符E之前的字符串“DABCDABD”中有长度为1的相同前缀和后缀)。

综上,可以通过递推求得next 数组,代码如下所示:

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void GetNext(char* p,int next[])
{
int pLen = strlen(p);
next[0] = -1;
int k = -1;
int j = 0;
while (j < pLen - 1)
{
//p[k]表示前缀,p[j]表示后缀
if (k == -1 || p[j] == p[k])
{
++k;
++j;
next[j] = k;
}
else
{
k = next[k];
}
}
}

用代码重新计算下“ABCDABD”的next 数组,以验证之前通过“最长相同前缀后缀长度值右移一位,然后初值赋为-1”得到的next 数组是否正确,计算结果如下表格所示:

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从上述表格可以看出,无论是之前通过“最长相同前缀后缀长度值右移一位,然后初值赋为-1”得到的next 数组,还是之后通过代码递推计算求得的next 数组,结果是完全一致的。

基于《next 数组》匹配

下面,我们来基于next 数组进行匹配。

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还是给定文本串“BBC ABCDAB ABCDABCDABDE”,和模式串“ABCDABD”,现在要拿模式串去跟文本串匹配,如下图所示:

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在正式匹配之前,让我们来再次回顾下上文2.1节所述的KMP算法的匹配流程:

“假设现在文本串S匹配到 i 位置,模式串P匹配到 j 位置

  • 如果j = -1,或者当前字符匹配成功(即S[i] == P[j]),都令i++,j++,继续匹配下一个字符;
  • 如果j != -1,且当前字符匹配失败(即S[i] != P[j]),则令 i 不变,j = next[j]。此举意味着失配时,模式串P相对于文本串S向右移动了j - next [j] 位。
    换言之,当匹配失败时,模式串向右移动的位数为:失配字符所在位置 - 失配字符对应的next 值,即移动的实际位数为:j - next[j],且此值大于等于1。”
  1. 最开始匹配时
  • P[0]跟S[0]匹配失败
    • 所以执行“如果j != -1,且当前字符匹配失败(即S[i] != P[j]),则令 i 不变,j = next[j]”,所以j = -1,故转而执行“如果j = -1,或者当前字符匹配成功(即S[i] == P[j]),都令i++,j++”,得到i = 1,j = 0,即P[0]继续跟S[1]匹配。
  • P[0]跟S[1]又失配,j再次等于-1,i、j继续自增,从而P[0]跟S[2]匹配。
  • P[0]跟S[2]失配后,P[0]又跟S[3]匹配。
  • P[0]跟S[3]再失配,直到P[0]跟S[4]匹配成功,开始执行此条指令的后半段:“如果j = -1,或者当前字符匹配成功(即S[i] == P[j]),都令i++,j++”。

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  1. P[1]跟S[5]匹配成功,P[2]跟S[6]也匹配成功, …,直到当匹配到P[6]处的字符D时失配(即S[10] != P[6]),由于P[6]处的D对应的next 值为2,所以下一步用P[2]处的字符C继续跟S[10]匹配,相当于向右移动:j - next[j] = 6 - 2 =4 位。

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  1. 向右移动4位后,P[2]处的C再次失配,由于C对应的next值为0,所以下一步用P[0]处的字符继续跟S[10]匹配,相当于向右移动:j - next[j] = 2 - 0 = 2 位。

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  1. 移动两位之后,A 跟空格不匹配,模式串后移1 位。

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  1. P[6]处的D再次失配,因为P[6]对应的next值为2,故下一步用P[2]继续跟文本串匹配,相当于模式串向右移动 j - next[j] = 6 - 2 = 4 位。

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  1. 匹配成功,过程结束。

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匹配过程一模一样。也从侧面佐证了,next 数组确实是只要将各个最大前缀后缀的公共元素的长度值右移一位,且把初值赋为-1 即可。

基于《最大长度表》与基于《next 数组》等价

我们已经知道,利用next 数组进行匹配失配时,模式串向右移动 j - next [ j ] 位,等价于已匹配字符数 - 失配字符的上一位字符所对应的最大长度值。原因是:

  • j 从0开始计数,那么当数到失配字符时,j 的数值就是已匹配的字符数;
  • 由于next 数组是由最大长度值表整体向右移动一位(且初值赋为-1)得到的,那么失配字符的上一位字符所对应的最大长度值,即为当前失配字符的next 值。

    但为何本文不直接利用next 数组进行匹配呢?因为next 数组不好求,而一个字符串的前缀后缀的公共元素的最大长度值很容易求。例如若给定模式串“ababa”,要你快速口算出其next 数组,乍一看,每次求对应字符的next值时,还得把该字符排除之外,然后看该字符之前的字符串中有最大长度为多大的相同前缀后缀,此过程不够直接。而如果让你求其前缀后缀公共元素的最大长度,则很容易直接得出结果:0 0 1 2 3,如下表格所示:

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然后这5个数字 全部整体右移一位,且初值赋为-1,即得到其next 数组:-1 0 0 1 2。

Next 数组与有限状态自动机

next 负责把模式串向前移动,且当第j位不匹配的时候,用第next[j]位和主串匹配,就像打了张“表”。此外,next 也可以看作有限状态自动机的状态,在已经读了多少字符的情况下,失配后,前面读的若干个字符是有用的。

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